f(q) = Σ(n=0..∞) q^(n^2) / (-q;q)_n^2
φ(q) = Σ q^(n^2)/(-q^2;q^2)_n
ψ(q) = Σ q^(n^2)/(q;q^2)_n
χ(q) = Σ q^(n^2)(-q;q)_n/(-q^3;q^3)_n
f_0(q) = Σ q^(n^2)/(-q;q)_n
f_1(q) = Σ q^(n^2+n)/(-q;q)_n
φ_0(q) = Σ q^(n^2)(-q;q^2)_n
φ_1(q) = Σ q^((n+1)^2)(-q;q^2)_n
ψ_0(q) = Σ q^((n+1)(n+2)/2)(-q;q)_n
ψ_1(q) = Σ q^(n(n+1)/2)(-q;q)_n
χ_0(q) = Σ q^n/(q^(n+1);q)_n
χ_1(q) = Σ q^(2n)/(q^(n+1);q)_n
F_0(q), F_1(q) — 定义更复杂
F_0(q) = Σ q^(n^2)/((q^(n+1);q)_(n+1))
F_1(q) = Σ q^((n+1)^2)/((q^(n+1);q)_(n+1))
F_2(q) — 第三个七阶函数
Ramanujan将17个函数分为3阶、5阶、7阶，但从未解释"order"的含义。80多年来数学家们找到了部分对应关系（与模形式的level相关），但统一框架仍缺失。
Lost Notebook中出现了ω(q), ν(q), ρ(q)等不在原始17个中的函数。它们是否与17个函数属于同一"家族"？它们的"order"是什么？
Dabholkar-Murthy-Zagier (2012) 发现mock theta函数与黑洞熵的精确联系。但如何将所有17个函数映射到具体的黑洞物理量（温度、熵、辐射谱），仍是开放问题。
p(5n+4) ≡ 0 (mod 5)
p(7n+5) ≡ 0 (mod 7)
p(11n+6) ≡ 0 (mod 11)
在无限等差数列中，p(n)取奇数值和偶数值的比例是否各为50%？即分拆函数的奇偶性是否"随机"？
状态：Nicolas-Rifaat-Sarkozy-Serre (1998) 证明了p(n)在无限多个n处取奇数值和偶数值，但密度问题完全未解。Parkin-Shanks (1967) 计算表明到n=2×10^5时奇偶接近平衡，但无任何证明。
定义p_k(n)为将n分拆为至多k次幂之和的分拆数。Newman猜想：对所有k，p_k(n)的奇偶性密度各为1/2。
是否存在形式为p(ℓn+β) ≡ 0 (mod 3)的Ramanujan型同余式？Ahlgren-Boylan证明了对于ℓ≥13不存在模ℓ的Ramanujan型同余式，但模合数和模3的情况未完全解决。
Δ(q) = q Π(n=1..∞) (1-q^n)^24 = Σ(n=1..∞) τ(n) q^n
τ(1) = 1, τ(2) = -24, τ(3) = 252, τ(4) = -1472, ...
τ(n)是否永不为零？这是Ramanujan遗产中最古老的未解问题之一，已困扰数学界80年。
已知τ(2)=-24≡0(mod 2), τ(3)=252≡0(mod 3), τ(5)=4830≡0(mod 5), τ(7)=-16744≡0(mod 7), τ(2411)≡0(mod 2411)。是否存在无限多个素数p使得τ(p)≡0(mod p)？
τ(n)取素数值的次数是否有限？目前已知τ(n)为素数仅在n=1处（τ(1)=1不是素数），实际上τ(n)似乎从不取素数值。
对任意不整除N的素数p，|τ(p)| ≥ c·p^((k-3)/2)。对于Ramanujan的Δ函数(k=12)，这等价于|τ(p)| ≥ c·p^(9/2)。未解决。
是否存在不同的n,m使得τ(n)=τ(m)？Z.-W. Sun猜想每个整数只出现有限次作为τ值。部分结果由Deligne-Serre给出。
连续两个超优高合成数(highly composite number)的比值是否总是素数？Ramanujan研究了d(n)（n的约数个数）取极值的数，猜想它们的比值结构。
σ(n) < e^γ n log log n 对所有n ≥ 5041成立 等价于 Riemann假设。Ramanujan的原始笔记中有类似的不等式，但联系未完全建立。
Dyson(1944)猜想存在"crank"统计量解释所有Ramanujan同余式。Andrews-Garvan(1988)找到了crank。但Stanton猜想：crank的显式组合双射构造是否存在？
R(q) = q^(1/5) / (1 + q/(1 + q^2/(1 + q^3/(1 + ... ))))
R(q)与R(q^2),R(q^3),R(q^4),R(q^5)的模方程已建立(J.Yi证明)，但对任意n的一般系统公式仍缺失。Ramanujan在Lost Notebook第365页记录了连接R(q)与R(-q),R(q^2)...R(q^5)的恒等式，但推广到R(q^n)的通用模式未知。
Ramanujan引入参数k并建立了R^5(q)和R^5(q^2)的表达式。S.-Y. Kang证明了大部分恒等式，但类似于Rogers-Ramanujan连分数本身的完整系统理论仍在发展中，特别是高次幂情况。
Ramanujan发现了关于G(q)和H(q)的40个恒等式，已被Bressoud, Biagioli, Berndt, Choi, Hahn, Yeap, Yee, Yesilyurt, Yi等人联合证明。但将这些40个恒等式纳入单一框架的系统化推广仍是开放研究方向。
Baruah和Talukdar(2024)证明了新的模恒等式：R(q)R(q^4) = [R(q^5)+R(q^20)-R(q^5)R(q^20)]/[1+R(q^5)+R(q^20)]。这类恒等式表明theta函数分解和五重积恒等式仍有未发现的结构。
G(q) = (q;q^5)_∞ (q^4;q^5)_∞ / (q^2;q^5)_∞ (q^3;q^5)_∞
H(q) = (q^2;q^5)_∞ (q^3;q^5)_∞ / (q;q^5)_∞ (q^4;q^5)_∞
Ramanujan记录了阶为5,10,20的连分数，但系统理论仅对阶5较完整。阶10和20的模方程、显式求值、与模形式的精确对应仍大片空白。
Ramanujan给出了R(q)在大量单位根处的显式求值（涉及黄金比例、根号等）。是否存在统一算法，对任意单位根给出R(q)的闭式？
1/π = 12 Σ(-1)^k (6k)!(13591409+545140134k)/[(3k)!(k!)^3 640320^(3k+3/2)]
1/π = 2√2/9801 Σ (4n)!(1103+26390n)/[(n!)^4 396^(4n)]
Chudnovsky公式的14位/项来自Heegner数163的j-函数值。复乘椭圆曲线理论暗示这是level-1 Ramanujan-Sato级数中的"最优"公式。但：更高level的公式(level 2,3,4,5,7等)是否能在特定计算架构上提供更好的收敛-复杂度权衡？非紧算术三角群是否提供大量未探索的新公式空间？
Ramanujan的g不变量g_58在Borwein的证明中"显著缺失"，但它在推导Ramanujan型1/π公式中起关键作用。精确计算g_58仍是活跃研究领域。
已知44条有理Ramanujan型级数，其中8条"发散"。Chen等人(2019)发现了"不在Chan-Cooper和Z.-W. Sun论文中的额外有理级数"。完全分类是否可能？
Campbell(2024)证明了与Heegner数163相关的Biswas-Glasser猜想，并获得"Chudnovsky-Chudnovsky公式的无限推广家族"。这些推广公式的完整结构、收敛性质和计算实用性仍在研究中。
Duke指出"Ramanujan关于超几何函数及其与模积分关系的原始发现，特别是Eisenstein负权级数，仍未被很好理解。"这些发现以无证明记录的恒等式形式存在，其深层含义仍部分模糊。
Ramanujan发现了一个比Gauss经典结果更精确的零平衡超几何渐近公式。该公式已被精炼和扩展，但其对模形式和π近似的完整含义仍在探索中。
| # | 问题 | 领域 | 状态 | 首次提出 |
|---|---|---|---|---|
| M1 | 模拟θ函数"Order"的精确定义 | Mock Theta | 未完全解 | 1920 |
| M2 | Lost Notebook额外函数的归属 | Mock Theta | 未解 | 1976 |
| M3 | 黑洞微观态的精确映射 | 数学物理 | 未解 | 2012 |
| P1 | Subbarao猜想(分拆奇偶性密度) | Partition | 未解 | 1966 |
| P2 | Newman猜想 | Partition | 未解 | 1960 |
| P3 | 模3的Ramanujan型同余式 | Partition | 部分解 | 2003 |
| T1 | Lehmer猜想(τ(n)≠0) | Tau | 核心未解 | 1947 |
| T2 | τ(p)≡0(mod p)的无限性 | Tau | 未解 | 1968 |
| T3 | Tau函数的素数值 | Tau | 未解 | 2011 |
| T4 | Atkin-Serre猜想 | Tau | 未解 | ~1990 |
| C1 | Alaoglu-Erdos猜想 | Divisors | 未解 | 1944 |
| C2 | Robin定理与Riemann假设 | Analytic NT | 未解 | 1984 |
| R1 | Stanton猜想(Crank双射) | Combinatorics | 部分解 | 2002 |
| CF1 | R(q^n)的一般模方程 | Continued Fractions | 未解 | 2001 |
| CF2 | 参数k的完整理论 | Continued Fractions | 部分解 | 1999 |
| CF3 | 40恒等式的统一框架 | Continued Fractions | 未解 | 1983 |
| CF4 | 新模恒等式的系统发现 | Continued Fractions | 未解 | 2024 |
| CF5 | 阶10和20连分数一般理论 | Continued Fractions | 未解 | ~2000 |
| CF6 | 显式求值统一算法 | Continued Fractions | 未解 | 1999 |
| π1 | 超越14位/项的π公式 | Pi Computation | 未解 | ongoing |
| π2 | g_58不变量精确计算 | Class Invariants | 部分解 | 1987 |
| π3 | Ramanujan-Sato级数完全分类 | Hypergeometric | 未解 | 2012 |
| π4 | Chudnovsky无限推广家族 | Pi Computation | 部分解 | 2024 |
| π5 | Eisenstein负权级数理论 | Modular Forms | 未解 | 1997 |
| π6 | 零平衡超几何渐近完整含义 | Asymptotics | 部分解 | 1985 |